4. 离散趋势 – 方差（Variance）

4.1 介绍

方差是用于衡量数据集中数值分散程度的统计指标。它描述了每个数据点与数据集平均值的偏离程度，是离散趋势的一种度量。

4.2 原理

方差的核心想法很直接：先看每个点离均值有多远，再把这些距离平方，最后取平均。平方有两个作用：一是避免正负偏差互相抵消，二是让偏离均值更远的点被放大。

这里要分清两个常见版本：

这是总体方差，当我们手里有总体全部数据时使用。

这是样本方差，当我们用样本估计总体方差时使用。分母用 $n-1$n−1 是为了修正样本均值带来的低估，这个修正常被称为贝塞尔校正。你可以先记住一个实用判断：描述手头这一批完整数据，用 $n$n；用样本去估计总体波动，用 $n-1$n−1。

4.3 重点和注意事项

• 重点： 方差提供了关于数据分散程度的重要信息，是了解数据离散程度的常用指标。
• 注意事项：
  • 方差受极端值的影响较大，对异常值敏感。
  • 方差的单位是原始数据的单位的平方。

4.4 完整案例

考虑一个案例：某班级学生的考试成绩。我们想计算学生们的考试成绩的方差，并绘制直方图以展示数据分布情况。

数据：

考试成绩数据：[75, 82, 90, 65, 88, 78, 94, 70]

Python代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 考试成绩数据
exam_scores = np.array([75, 82, 90, 65, 88, 78, 94, 70])

# 计算平均值
mean_score = np.mean(exam_scores)

# 计算每个数据点与平均值的偏离
deviations = exam_scores - mean_score

# 计算每个偏离的平方
squared_deviations = deviations ** 2

# 计算总体方差和样本方差
population_variance = np.mean(squared_deviations)
sample_variance = np.var(exam_scores, ddof=1)

# 绘制直方图
plt.hist(exam_scores, bins=5, alpha=0.7, color='purple', edgecolor='black', label='Exam Scores Distribution')

# 添加标题和标签
plt.title('Exam Scores Distribution and Variance')
plt.xlabel('Exam Scores')
plt.ylabel('Frequency')

# 显示图表
plt.show()

print("Population variance of exam scores:", population_variance)
print("Sample variance of exam scores:", sample_variance)

以上代码同时给出总体方差和样本方差。注意 ddof=1 的意思是把分母从 $n$调整为 $n-1$，这在做统计推断时很常见。