2. 集中趋势 – 中位数（Median）

2.1 介绍

中位数是一组数据中间值的度量，表示将数据从小到大排列时位于中间位置的值。中位数对于描述数据的中心趋势非常有用，尤其对于存在异常值的数据集。

2.2 原理

中位数的计算方法取决于数据集的大小：

• 若数据集为奇数个，则中位数是排序后位于中间位置的值。
• 若数据集为偶数个，则中位数是排序后中间两个值的平均值。

2.3 重点和注意事项

• 重点： 中位数不受极端值的影响，对于偏态分布的数据更为稳健。
• 注意事项：
  • 数据集需要是有序的。
  • 计算中位数前，通常需要对数据进行排序。

2.4 完整案例

考虑一个案例：某班级学生的考试成绩。我们想计算学生们的考试成绩的中位数，并绘制箱线图以展示数据的分布情况。

数据：

考试成绩数据：[75, 82, 90, 65, 88, 78, 94, 70]

计算步骤：

1. 排序数据： 将考试成绩数据进行排序：$65,70,75,78,82,88,90,94$65,70,75,78,82,88,90,94
2. 确定中位数： 由于数据集为偶数个，中位数为中间两个值的平均值。排好序后第 4 个值是 78，第 5 个值是 82，所以：$$\text{中位数}=\frac{78+82}{2}=80$$中位数=278+82​=80

Python代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 考试成绩数据
exam_scores = np.array([75, 82, 90, 65, 88, 78, 94, 70])

# 计算中位数
median_score = np.median(exam_scores)

# 绘制箱线图
plt.boxplot(exam_scores, vert=False, widths=0.7, patch_artist=True, medianprops={'color':'red'}, boxprops={'color':'lightblue'})

# 添加标题和标签
plt.title('Exam Scores Distribution and Median')
plt.xlabel('Exam Scores')

# 显示图表
plt.show()

print("学生的考试成绩中位数:", median_score)
# 学生的考试成绩中位数: 80.0

以上代码绘制了箱线图，展示了考试成绩的分布情况，并将中位数标记为红色。这里有个小提醒：偶数个数据时，不是随便取两个“看起来靠中间”的数，而是取排序后正中间的两个位置。