6. 离散趋势 – 峰度（Kurtosis）

6.1 介绍

峰度用来观察分布的尾部厚度和极端值倾向。很多资料会说“峰度衡量尖不尖”，这个说法容易让人误会；更稳妥的理解是：峰度越高，分布越容易出现远离均值的极端值。

峰度有两种常见口径：

• Pearson 峰度： 正态分布为 3。
• 超额峰度（excess kurtosis）： 在 Pearson 峰度基础上减去 3，所以正态分布为 0。

后面代码使用超额峰度，因为它更方便我们和正态分布比较：大于 0 表示尾部比正态更厚，小于 0 表示尾部比正态更薄。

6.2 原理

峰度会把每个数据点先标准化，再取四次方。标准化是为了去掉单位影响，四次方会明显放大离均值很远的点。

Pearson 峰度可以写成：

6.3 重点和注意事项

• 重点： 峰度提供了关于数据分布形状的信息，是了解数据尖峭程度的重要指标。
• 注意事项：
  • 如果使用 Pearson 峰度，正态分布的基准是 3。
  • 如果使用超额峰度，正态分布的基准是 0。看资料或代码参数时，先确认用的是哪一种口径。

6.4 完整案例

考虑一个案例：某班级学生的考试成绩。我们想计算学生们的考试成绩的峰度，并绘制直方图以展示数据分布情况。

数据：

考试成绩数据：[75, 82, 90, 65, 88, 78, 94, 70]

Python代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import kurtosis

# 考试成绩数据
exam_scores = np.array([75, 82, 90, 65, 88, 78, 94, 70])

# 计算超额峰度。fisher=True 表示返回 Pearson 峰度减 3 后的结果。
excess_kurtosis = kurtosis(exam_scores, fisher=True, bias=False)

# 绘制直方图
plt.hist(exam_scores, bins=5, alpha=0.7, color='green', edgecolor='black', label='Exam Scores Distribution')

# 添加标题和标签
plt.title('Exam Scores Distribution and Kurtosis')
plt.xlabel('Exam Scores')
plt.ylabel('Frequency')

# 显示图表
plt.show()

print("Excess kurtosis of exam scores:", excess_kurtosis)

以上代码计算的是超额峰度，并绘制了直方图。读峰度时不要只看“尖不尖”，更要想到它对极端值非常敏感。