7. 分位数

7.1 介绍

分位数是一组将数据集划分为几个等份的数据点。常见的分位数包括中位数（二分之一分位数）、上四分位数（75%分位数）、下四分位数（25%分位数）等。

7.2 原理

• 中位数： 将数据集划分为两等份的值，即第50%的位置。
• 四分位数： 将数据集划分为四等份的值，分别是第25%、第50%和第75%的位置。

7.3 重点和注意事项

• 重点： 分位数提供了关于数据分布的重要信息，是了解数据集的整体形状的有用工具。
• 注意事项：
  • 中位数是第 50 百分位数，四分位数常用 Q1、Q2、Q3 表示，分别对应 25%、50%、75% 的位置。
  • 分位数不是只有一种计算口径。不同教材和软件会使用不同的插值方法，所以我们讲清概念：第 $p$p 百分位数表示大约有 $p\mathrm{\%}$p% 的数据不超过这个值。

7.4 完整案例

考虑一个案例：某班级学生的考试成绩。我们想计算学生们的考试成绩的中位数和四分位数，并绘制箱线图以展示数据分布情况。

数据：

考试成绩数据：[75, 82, 90, 65, 88, 78, 94, 70]

Python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 考试成绩数据
exam_scores = np.array([75, 82, 90, 65, 88, 78, 94, 70])

# 计算中位数、四分位数和四分位距
median = np.median(exam_scores)
q1 = np.percentile(exam_scores, 25)
q3 = np.percentile(exam_scores, 75)
iqr = q3 - q1

# 绘制箱线图
plt.boxplot(exam_scores, vert=False, widths=0.7, patch_artist=True, medianprops={'color':'black'})

# 添加标题和标签
plt.title('Boxplot of Exam Scores with Quartiles')
plt.xlabel('Exam Scores')

# 显示图表
plt.show()

print("Median of exam scores:", median)
print("Q1 (25th percentile) of exam scores:", q1)
print("Q3 (75th percentile) of exam scores:", q3)
print("IQR of exam scores:", iqr)
# Median of exam scores: 80.0
# Q1 (25th percentile) of exam scores: 73.75
# Q3 (75th percentile) of exam scores: 88.5
# IQR of exam scores: 14.75

以上代码计算了考试成绩的中位数、四分位数和四分位距，并绘制了箱线图。箱线图的好处是把“中心位置、主要波动范围、可能异常值”放在一张图里看。