3.4.3 SGD

在神经网络的学习过程中，可以使用梯度下降法来更新参数，目标就是减小损失函数的值。

实际操作时，一般会从训练数据中随机选择一个小批量数据（mini-batch），然后用梯度下降法迭代多个轮次（iteration）；这种“对随机选择的数据进行的梯度下降法”，被称作 随机梯度下降法（stochastic gradient descent，SGD）。

具体过程如下：

1）随机选择批数据（mini-batch）

从训练数据中随机选出一部分数据，学习的目标就是要减少这个mini-batch数据的损失函数值。

2）计算梯度

对当前的各权重参数，计算出梯度的值，负梯度就表示了损失函数减小最多的方向。

3）更新参数

按照3.4.1节中梯度下降法的公式，对权重参数沿负梯度方向进行微小更新。

4）重复迭代

重复上面的步骤1）2）3），直到完成预定的总迭代次数。

3.5 综合代码实现

应用案例：手写数字识别

我们还是考察之前手写数字识别的案例。方便起见，这次只实现一个2层的神经网络（中间只有1个隐藏层、后面是输出层），利用之前的数据集来进行学习，学习方法采用SGD。

首先我们先来实现一个TwoLayerNet类：

from common.functions import *
from common.gradient import numerical_gradient

class TwoLayerNet:

    def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01):
        # 初始化权重
        self.params = {}
        self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)
        self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)
        self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)
        self.params['b2'] = np.zeros(output_size)

    def predict(self, x):
        W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
        b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
    
        a1 = np.dot(x, W1) + b1
        z1 = sigmoid(a1)
        a2 = np.dot(z1, W2) + b2
        y = softmax(a2)
        
        return y
        
    # x:输入数据, t:监督数据
    def loss(self, x, t):
        y = self.predict(x)
        
        return cross_entropy_error(y, t)
    
    def accuracy(self, x, t):
        y = self.predict(x)
        y = np.argmax(y, axis=1)
        t = t.reshape(-1)
        
        accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0])
        return accuracy
        
    # x:输入数据, t:监督数据
    def numerical_gradient(self, x, t):
        loss_W = lambda W: self.loss(x, t)
        
        grads = {}
        grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])
        grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])
        grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])
        grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2'])
        
        return grads

然后我们再利用SGD对神经网络进行训练学习：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from two_layer_net import TwoLayerNet

# 读入数据
x_train, x_test, t_train, t_test = get_data ()

network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=50, output_size=10)

iters_num = 10000  # 适当设定循环的次数
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.1

train_loss_list = []
train_acc_list = []
test_acc_list = []

iter_per_epoch = max(train_size / batch_size, 1)

for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    t_batch = t_train[batch_mask]
    
    # 计算梯度
    grad = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch)
    
    # 更新参数
    for key in ('W1', 'b1', 'W2', 'b2'):
        network.params[key] -= learning_rate * grad[key]
    
    loss = network.loss(x_batch, t_batch)
    train_loss_list.append(loss)
    
    if i % iter_per_epoch == 0:
        train_acc = network.accuracy(x_train, t_train)
        test_acc = network.accuracy(x_test, t_test)
        train_acc_list.append(train_acc)
        test_acc_list.append(test_acc)
        print("train acc, test acc | " + str(train_acc) + ", " + str(test_acc))

# 绘制图形
markers = {'train': 'o', 'test': 's'}
x = np.arange(len(train_acc_list))
plt.plot(x, train_acc_list, label='train acc')
plt.plot(x, test_acc_list, label='test acc', linestyle='--')
plt.xlabel("epochs")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()